Contour Integration

定义 Definition

Contour integration（轮廓积分/沿复平面路径的积分）是复变函数中一种把积分沿着复平面上的曲线（轮廓）来计算的技术，常用于利用柯西积分定理与留数定理求解实积分、无穷级数或特定复积分。（也可泛指“沿任意路径的复线积分”，但最常见语境是用闭合轮廓与留数法计算。）

发音 Pronunciation

/ˈkɑːn.tʊr ˌɪn.tɪˈɡreɪ.ʃən/

例句 Examples

We used contour integration to evaluate the integral quickly.
我们用轮廓积分很快算出了这个积分。

By choosing a keyhole contour, contour integration lets us handle branch cuts and compute integrals involving logarithms.
通过选取“钥匙孔”轮廓，轮廓积分可以处理分支切割，并计算含对数的积分。

词源 Etymology

Contour 原指“等高线、轮廓线”，来自法语 contour（“轮廓、外形”），由 *con-*（“一起、围绕”）与 tour（“转动、回转”相关）构成，强调“围绕某形状的线”。Integration 来自拉丁语 integrare（“使完整、合并成整体”），引申为“积分”。合起来，contour integration 字面意思就是“沿轮廓（曲线）做积分”，在数学中专指复分析里沿复平面路径进行积分、并常结合留数等工具的计算方法。

相关词 Related Words

• Analytic
• Branch Cut
• Cauchy
• Contour
• Line Integral
• Pole
• Residue
• Singularity

文学与经典著作 Literary Works

• Complex Analysis — Lars V. Ahlfors（复分析经典教材，系统讲解轮廓积分与柯西理论）
• Complex Variables and Applications — James Ward Brown & Ruel V. Churchill（以应用为导向，包含大量用轮廓积分求实积分的例题）
• Visual Complex Analysis — Tristan Needham（以几何直观解释复分析，涉及轮廓积分与留数思想）